複素関数グラフの可視化と書き方

複素関数プロッターは、入力された関数の値を位相（色相）と大きさ（明度）に変換して描画する無料のブラウザツールです。4次元の広がりを持つ複素関数グラフを、インストール不要かつローカル処理で即座にドメインカラーリング（定義域の着色）として可視化できます。大学の課題での挙動確認や学習において、手軽に数式を入力して確認できます。

複素関数グラフの可視化とドメインカラーリングの仕組み

複素関数 w = f(z) は、入力 z が実部と虚部の2次元、出力 w も2次元となるため、合計4次元の空間となり通常の直交座標系では描画できません。これを解決するのがドメインカラーリング（定義域の着色）と呼ばれる手法です。

このツールでは、複素平面上の各点 z における関数値 f(z) の偏角（位相）を「色相」に、絶対値（大きさ）を「明度」に対応させて可視化します。色を見ることで、特別な計算を行わずに構造を把握できます。

• 色相（カラー）： 関数の位相（偏角）を示します。実数が正のとき赤色となり、角度が変わるにつれて黄色、緑色、シアン、青色、マゼンタへと移り変わります。
• 暗部（黒い点）： 関数の零点（0になる点）です。すべての色がこの点に向かって集まります。
• 明部（白い点）： 関数の極（無限大に発散する点）です。零点と同様にすべての色が集まります。
• 最も鮮やかな色： 絶対値 |f(z)| が 1 に近い領域を表します。

複素関数グラフの書き方と操作手順

コードの記述や環境構築を行わずに、ブラウザ上で数式を入力するだけで簡単に複素関数を描画できます。

1. 画面下部の入力欄に z^3 - 1 や sin(z) などの数式を入力します。
2. 入力後、GPU（WebGL 2）を用いてローカル環境で瞬時にグラフが更新されます。
3. マウスのドラッグや指でのスワイプにより、複素平面上を滑らかに移動（パン）できます。
4. マウスホイールやピンチイン・ピンチアウト操作で、特定の点へ自由に拡大・縮小（ズーム）できます。

数式に誤りがある場合は入力欄の枠線が赤くなり、正しい数式が入力されるまで直前の正常なグラフが表示され続けます。

入力できる関数と記法ルール

多様な複素関数の描画に対応しています。入力の際は必ず小括弧 () を用いて引数を囲みます。

• 変数および定数： z、虚数単位 i、円周率 pi、ネイピア数 e、および数値（0.5 や 1e3 など。小数点はピリオドを使用）。
• 演算子： +、-、*、/、乗算を表す ^ または **。乗算記号は省略可能で、2z や (z+1)(z-1) と記述できます。
• 指数・対数・平方根： exp(z)、log(z)、ln(z)、sqrt(z)。対数や平方根は主値（principal branch）で計算されるため、値が不連続に跳ぶ分岐切断が現れることがあります。
• 三角関数・双曲線関数： sin(z)、cos(z)、tan(z)、asin(z)、acos(z)、atan(z)、sinh(z)、cosh(z)、tanh(z) など。
• 複素数の要素： 絶対値 abs(z)、共役複素数 conj(z)、実部 re(z)、虚部 im(z)、偏角 arg(z)。

絶対値の等高線と偏角の等高線による詳細解析

入力欄の隣にあるレイヤーボタンから補助線の表示を切り替えることで、関数の変化をより詳しく観察できます。

絶対値の等高線を有効にすると、|f(z)| が 2 の累乗（1, 2, 4, 8 や 1/2, 1/4 など）になる位置に線を描画します。等高線の密度が高い場所ほど、関数の絶対値が急激に変化していることを示します。

偏角の等高線を有効にすると、色相環を 12 等分（30 度刻み）した位相の位置に放射状の線を描画します。これらの線はすべて零点や極の点に収束するため、特異点の正確な位置や重複度を視覚的に特定するのに役立ちます。

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